משפט חוצה זווית בגיאומטריה

הבנת משפט הפרופורציה החשוב שנוצר כאשר מעבירים חוצה זווית במשולש כלשהו, והשימוש בו בפתרון תרגילים.
גיאומטריה📚 תיכון ובגרות (כיתות י׳-י״ב)

משפט חוצה הזווית במשולש 📐

הבנת משפט הפרופורציה החשוב שנוצר כאשר מעבירים חוצה זווית במשולש כלשהו, והשימוש בו בפתרון תרגילים.

⚠️ לפני שמתחילים, ודאו שאתם שולטים ב:

הסבר מפורט

בגיאומטריה קלאסית, כאשר חוצים זווית של משולש, נוצר קשר פרופורציונלי יפהפה בין צלעות המשולש.

משפט חוצה הזווית:
חוצה זווית פנימית במשולש מחלק את הצלע שמול הזווית לשני קטעים אשר היחס ביניהם שווה ליחס בין שתי הצלעות הכולאות את הזווית.

בלשון מתמטית, אם במשולש ABCABC הקטע ADAD הוא חוצה הזווית AA (כלומר ∠BAD=∠CAD\angle BAD = \angle CAD), אז מתקיים:
BDCD=ABAC\frac{BD}{CD} = \frac{AB}{AC}

משפט זה עובד גם בכיוון ההפוך (המשפט ההפוך): אם קטע היוצא מקודקוד מחלק את הצלע שממול ביחס השווה ליחס הצלעות הכולאות, אז הקטע הוא חוצה זווית.

דוגמה מעשית:


במשולש ABCABC נתון: AB=12AB = 12 ס"מ, AC=18AC = 18 ס"מ. הקטע ADAD הוא חוצה זווית AA. אורך הצלע BCBC הוא 1515 ס"מ. מצאו את אורכי הקטעים BDBD ו-CDCD.

פתרון:
נסמן את BD=xBD = x.
מכיוון שאורך כל BCBC הוא 1515, אורך הקטע השני יהיה CD=15−xCD = 15 - x.

נציב בנוסחת משפט חוצה הזווית:
x15−x=1218\frac{x}{15 - x} = \frac{12}{18}
נצמצם את השבר 1218\frac{12}{18} ל-23\frac{2}{3}:
x15−x=23\frac{x}{15 - x} = \frac{2}{3}
נכפיל בהצלבה:
3x=2(15−x)3x = 2(15 - x)
3x=30−2x3x = 30 - 2x
5x=30  ⟹  x=65x = 30 \implies x = 6

קיבלנו כי BD=6BD = 6 ס"מ, ו-CD=15−6=9CD = 15 - 6 = 9 ס"מ. היחס ביניהם הוא 69=23\frac{6}{9} = \frac{2}{3}, בדיוק כמו יחס הצלעות 1218\frac{12}{18}.
⭐ 0/0 תשובות נכונות
1

במשולש ABCABC שבו AB=10,AC=15AB=10, AC=15, מעבירים חוצה זווית ADAD. נתון ש-BD=4BD=4. חשבו את אורך הקטע CDCD.

2

הוכיחו כי חוצה הזווית במשולש שווה שוקיים היוצא מזווית הראש הוא גם התיכון לבסיס באמצעות משפט חוצה זווית.

נתקעת בנושא? בואו נפתור את זה ביחד 💪

שלחו הודעה בוואטסאפ ונתחיל שיעור ניסיון – עם הקלטה, תרגול ומענה 24/7

שלחו הודעה בוואטסאפ