אינדוקציה מתמטית: הוכחת זהויות ושוויונות 🧮

הבנת עקרון האינדוקציה מתמטית (אפקט הדומינו) והוכחת נוסחאות סכום לכל n טבעי.

הסבר מפורט

אינדוקציה מתמטית היא שיטת הוכחה חזקה מאוד במתמטיקה, המשמשת להוכחת טענות המוגדרות עבור כל המספרים הטבעיים (

n = 1, 2, 3, \dots

).

ניתן לדמות אינדוקציה לאפקט הדומינו:

אנו מוכיחים שאם אבן כלשהי נופלת, היא בטוח תפיל את האבן הבאה אחריה (מוכיחים שאם הטענה נכונה עבור $n=k$ , היא נכונה גם עבור $n=k+1$ ).

אם שני התנאים הללו מתקיימים, כל אבני הדומינו יפלו בזו אחר זו עד אינסוף!

הנחת האינדוקציה: מניחים שהטענה נכונה עבור $n = k$ (כאשר $k$ הוא מספר טבעי כלשהו).

צעד האינדוקציה: מוכיחים שהטענה נכונה עבור $n = k + 1$ , בהסתמך על הנחת האינדוקציה.

הוכיחו באינדוקציה כי לכל

n

טבעי מתקיים:

1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n(n+1)}{2}

פתרון:
שלב $1$ : בדיקה עבור $n=1$ .

הטענה נכונה עבור

n=1

.

שלב $2$ : הנחת האינדוקציה עבור $n=k$ .
נניח כי מתקיים:

1 + 2 + 3 + \dots + k = \frac{k(k+1)}{2}

שלב $3$ : הוכחה עבור $n=k+1$ .
עלינו להוכיח כי:

1 + 2 + 3 + \dots + k + (k+1) = \frac{(k+1)(k+2)}{2}

נשים לב שאגף שמאל של השורה שברצוננו להוכיח מכיל את הסכום עד

k

בתוספת האיבר החדש

(k+1)

. נציב את הנחת האינדוקציה במקום הסכום המקורי:

\frac{k(k+1)}{2} + (k+1)

נוציא גורם משותף

(k+1)

מחוץ לסוגריים:

(k+1) \left( \frac{k}{2} + 1 \right) = (k+1) \left( \frac{k+2}{2} \right) = \frac{(k+1)(k+2)}{2}

קיבלנו בדיוק את אגף ימין של השורה שרצינו להוכיח. ההוכחה הושלמה!

⭐ 0/0 תשובות נכונות

הוכיחו באינדוקציה כי לכל $n$ טבעי מתקיים: $2 + 4 + 6 + \dots + 2n = n(n+1)$ .

הסבירו מדוע בדיקת בסיס האינדוקציה היא שלב חובה ולא ניתן לוותר עליו (תנו דוגמה לטענה שקרית שמקייימת את הצעד אך לא את הבדיקה).

שלחו הודעה בוואטסאפ ונתחיל שיעור ניסיון – עם הקלטה, תרגול ומענה 24/7