אינדוקציה מתמטית: תכונות התחלקות

איך להוכיח באינדוקציה שביטויים אלגבריים מתחלקים במספר קבוע ללא שארית לכל n טבעי.
תורת המספרים📚 תיכון ובגרות (כיתות י׳-י״ב)

אינדוקציה מתמטית: תכונות התחלקות ואי-שוויונות 🧮

איך להוכיח באינדוקציה שביטויים אלגבריים מתחלקים במספר קבוע ללא שארית לכל n טבעי.

⚠️ לפני שמתחילים, ודאו שאתם שולטים ב:

הסבר מפורט

בנוסף להוכחת סכומים, אנו נדרשים בבגרות 55 יחידות להוכיח תכונות התחלקות באמצעות אינדוקציה מתמטית.
המשמעות של 'הביטוי AA מתחלק ב-PP ללא שארית' היא ש-A=P⋅MA = P \cdot M עבור MM מספר שלם.

אסטרטגיה להוכחת התחלקות בצעד (n=k+1n=k+1):


מטרתנו בצעד היא לקחת את הביטוי עבור n=k+1n=k+1, לפרק אותו באופן אלגברי כך שנוכל 'להשתיל' בתוכו את הביטוי של הנחת האינדוקציה (עבור n=kn=k), ולהראות ששאר החלקים שנותרו מתחלקים ב-PP גם הם.

דוגמה מפורטת:


הוכיחו באינדוקציה כי לכל nn טבעי, הביטוי 4n+15n−14^n + 15n - 1 מתחלק ב−9-9 ללא שארית.

פתרון:
שלב 11: בדיקה עבור n=1n=1.
41+15(1)−1=4+15−1=184^1 + 15(1) - 1 = 4 + 15 - 1 = 18
המספר 1818 מתחלק ב−9-9 ללא שארית (18:9=218:9 = 2). הטענה נכונה.

שלב 22: הנחת האינדוקציה עבור n=kn=k.
נניח כי הביטוי מתחלק ב−9-9, כלומר:
4k+15k−1=9M(עבור M שלם)4^k + 15k - 1 = 9M \quad (\text{עבור } M \text{ שלם})
נחלץ מכאן את האיבר הבעייתי 4k4^k כדי להשתמש בו בצעד:
4k=9M−15k+14^k = 9M - 15k + 1

שלב 33: הוכחה עבור n=k+1n=k+1.
עלינו להראות כי הביטוי הבא מתחלק ב−9-9:
4k+1+15(k+1)−14^{k+1} + 15(k+1) - 1

נפשט את הביטוי ונשתמש בחוקי חזקות:
4⋅4k+15k+15−1=4⋅4k+15k+144 \cdot 4^k + 15k + 15 - 1 = 4 \cdot 4^k + 15k + 14

נציב את 4k4^k שחילצנו מהנחת האינדוקציה:
4(9M−15k+1)+15k+14=36M−60k+4+15k+144(9M - 15k + 1) + 15k + 14 = 36M - 60k + 4 + 15k + 14
36M−45k+1836M - 45k + 18

נוציא גורם משותף 99 מחוץ לביטוי:
9(4M−5k+2)9(4M - 5k + 2)

מכיוון ש-MM ו-kk הם מספרים שלמים, גם הביטוי שבסוגריים הוא מספר שלם. קיבלנו כפולה של 99, מה שמוכיח שהביטוי אכן מתחלק ב−9-9 ללא שארית לכל nn טבעי!
⭐ 0/0 תשובות נכונות
1

הוכיחו באינדוקציה כי הביטוי 7n+57^n + 5 מתחלק ב−6-6 ללא שארית לכל nn טבעי.

2

הוכיחו באינדוקציה את אי-השוויון הבא לכל n≥5n \ge 5 טבעי: 2n>n22^n > n^2 (שימו לב שבסיס האינדוקציה מתחיל מ−5-5).

נתקעת בנושא? בואו נפתור את זה ביחד 💪

שלחו הודעה בוואטסאפ ונתחיל שיעור ניסיון – עם הקלטה, תרגול ומענה 24/7

שלחו הודעה בוואטסאפ