מקומות גיאומטריים במישור המרוכבים

פתרון בעיות שבהן נדרש לזהות את הצורה הגיאומטרית (ישר, מעגל) הנוצרת על ידי אילוצים על מספרים מרוכבים.
מספרים מרוכבים📚 תיכון ובגרות (כיתות י׳-י״ב)5 יח״ל

מקומות גיאומטריים במישור גאוס 📐

פתרון בעיות שבהן נדרש לזהות את הצורה הגיאומטרית (ישר, מעגל) הנוצרת על ידי אילוצים על מספרים מרוכבים.

⚠️ לפני שמתחילים, ודאו שאתם שולטים ב:

הסבר מפורט

שאלת בגרות נפוצה מאוד ב−5-5 יח"ל עוסקת במקום גיאומטרי במישור המרוכבים. השאלה מציגה תנאי אלגברי על מספר מרוכב zz, ואנו צריכים לגלות איזו צורה גיאומטרית (למשל, מעגל, ישר או פרבולה) מתקבלת.

אסטרטגיית העבודה הקבועה:



  1. הצבה אלגברית: מציבים במשוואה הנתונה z=x+yiz = x + yi (כאשר xx הוא החלק הממשי ו-yy הוא החלק הדמיוני).

  2. הפרדת חלקים: מסדרים את הביטויים כך שכל החלקים הממשיים מקובצים יחד, וכל החלקים המדומים מקובצים יחד.

  3. הפעלת ערך מוחלט (אם קיים): נזכור כי ערך מוחלט של מספר מרוכב מייצג מרחק מהראשית ומחושב כשורש של סכום הריבועים:


∣x+yi∣=x2+y2|x + yi| = \sqrt{x^2 + y^2}

  1. פישוט המשוואה: מעלים בריבוע ומכנסים איברים דומים כדי לקבל משוואה מוכרת (כמו משוואת מעגל או ישר).



דוגמה מעשית:


זהו את המקום הגיאומטרי המקיים את התנאי: ∣z−3∣=∣z−i∣|z - 3| = |z - i|.

פתרון:
נציב z=x+yiz = x + yi:
∣x+yi−3∣=∣x+yi−i∣|x + yi - 3| = |x + yi - i|
נסדר לפי חלק ממשי ודמיוני בכל אגף:
∣(x−3)+yi∣=∣x+(y−1)i∣|(x - 3) + yi| = |x + (y - 1)i|
נפעיל את הגדרת הערך המוחלט (הוצאת שורש סכום הריבועים):
(x−3)2+y2=x2+(y−1)2\sqrt{(x-3)^2 + y^2} = \sqrt{x^2 + (y-1)^2}
נעלה בריבוע את שני האגפים ונוציא סוגריים:
x2−6x+9+y2=x2+y2−2y+1x^2 - 6x + 9 + y^2 = x^2 + y^2 - 2y + 1
נצמצם את x2x^2 ו-y2y^2 משני הצדדים:
−6x+9=−2y+1-6x + 9 = -2y + 1
2y=6x−8  ⟹  y=3x−42y = 6x - 8 \implies y = 3x - 4

המקום הגיאומטרי שהתקבל הוא קו ישר שמשוואתו y=3x−4y = 3x - 4.
1

זהו את המקום הגיאומטרי המקיים את התנאי הבא: ∣z−2−3i∣=5|z - 2 - 3i| = 5 (הראו שמתקבל מעגל ומצאו את מרכזו ורדיוסו).

2

הסבירו את המשמעות הגיאומטרית של התנאי ∣z∣≤3|z| \le 3 במישור גאוס.

נתקעת בנושא? בואו נפתור את זה ביחד 💪

שלחו הודעה בוואטסאפ ונתחיל שיעור ניסיון – עם הקלטה, תרגול ומענה 24/7

שלחו הודעה בוואטסאפ