משפט דה-מואבר ושורשי היחידה

שימוש במשפט דה-מואבר לחישוב חזקות ושורשים של מספרים מרוכבים, והבנת משמעות שורשי היחידה.
מספרים מרוכבים📚 תיכון ובגרות (כיתות י׳-י״ב)

מספרים מרוכבים: משפט דה-מואבר 🧮

שימוש במשפט דה-מואבר לחישוב חזקות ושורשים של מספרים מרוכבים, והבנת משמעות שורשי היחידה.

⚠️ לפני שמתחילים, ודאו שאתם שולטים ב:

הסבר מפורט

פעולות של כפל וחילוק במספרים מרוכבים הן קלות בהרבה כאשר משתמשים בהצגה קוטבית. המסקנה החשובה ביותר מכך מנוסחת במשפט דה-מואבר (De Moivre's Theorem).

א. העלאה בחזקה לפי דה-מואבר


כדי להעלות מספר מרוכב קוטבי בחזקה טבעית nn, מעלים את הרדיוס בחזקת nn ומכפילים את הזווית ב-nn:
zn=(rcis⁡θ)n=rncis⁡(nθ)z^n = (r \operatorname{cis} \theta)^n = r^n \operatorname{cis}(n \theta)

ב. הוצאת שורש לפי דה-מואבר


עבור שורש מסדר nn, נקבל בדיוק nn פתרונות שונים הנמצאים במרחקים שווים על גבי מעגל ברדיוס rn\sqrt[n]{r}:
wk=rncis⁡(θ+360∘kn)w_k = \sqrt[n]{r} \operatorname{cis}\left(\frac{\theta + 360^\circ k}{n}\right)
כאשר k=0,1,2,…,n−1k = 0, 1, 2, \dots, n-1.

דוגמה מעשית:


חשבו את הערך של z6z^6 עבור z=2cis⁡(15∘)z = \sqrt{2} \operatorname{cis}(15^\circ).

פתרון:
נשתמש במשפט דה-מואבר להעלאה בחזקה:
z6=(2)6cis⁡(6⋅15∘)z^6 = (\sqrt{2})^6 \operatorname{cis}(6 \cdot 15^\circ)
נחשב את הרדיוס החדש: (2)6=23=8(\sqrt{2})^6 = 2^3 = 8.
נחשב את הזווית החדשה: 6⋅15∘=90∘6 \cdot 15^\circ = 90^\circ.

התוצאה היא:
z6=8cis⁡(90∘)=8(0+i⋅1)=8iz^6 = 8 \operatorname{cis}(90^\circ) = 8(0 + i \cdot 1) = 8i

התוצאה נקייה ונקבל מספר מדומה טהור 8i8i!
1

מצאו את כל שלושת הפתרונות (השורשים) של המשוואה z3=8z^3 = 8 (העבירו תחילה את 88 להצגה קוטבית 8cis⁡(0∘)8\operatorname{cis}(0^\circ)).

2

הסבירו מדוע כל הפתרונות של שורש מרוכב מסדר n יוצרים מצולע משוכלל בעל n קודקודים במישור גאוס.

נתקעת בנושא? בואו נפתור את זה ביחד 💪

שלחו הודעה בוואטסאפ ונתחיל שיעור ניסיון – עם הקלטה, תרגול ומענה 24/7

שלחו הודעה בוואטסאפ