סדרה הנדסית וסדרה הנדסית אינסופית מתכנסת 🧮

הבנת סדרה הנדסית, חישוב איבר כללי וסכום, ולימוד תנאי ההתכנסות וסכום סדרה הנדסית אינסופית.

הסבר מפורט

סדרה הנדסית היא סדרת מספרים שבה היחס בין כל שני איברים עוקבים הוא קבוע. יחס זה (המנה) מסומן באות

q

א. נוסחת האיבר הכללי ( $a_n$ )

a_n = a_1 \cdot q^{n-1}

ב. נוסחת סכום סדרה הנדסית ( $S_n$ )

S_n = \frac{a_1 (q^n - 1)}{q - 1}

ג. סדרה הנדסית אינסופית מתכנסת

אם מנת הסדרה

q

היא שבר קטן מ

-1

בערכו המוחלט (כלומר

|q| < 1

או

-1 < q < 1

), אז ככל שמקדמים בסדרה, האיברים הולכים ומתקרבים לאפס. סדרה כזו נקראת סדרה הנדסית אינסופית מתכנסת.

למרות שיש בה אינסוף איברים, סכומם אינו אינסוף אלא מספר סופי מוגדר. נוסחת הסכום של סדרה אינסופית מתכנסת היא:

S = \frac{a_1}{1 - q}

דוגמה מעשית (סדרה אינסופית):

נתונה הסדרה ההנדסית הבאה:

16, 8, 4, 2, \dots

הסבירו מדוע הסדרה מתכנסת.

חשבו את סכום כל איברי הסדרה עד אינסוף.

פתרון:

מנת הסדרה היא: $q = \frac{8}{16} = 0.5$ . מכיוון ש- $|0.5| < 1$ , הסדרה אכן מתכנסת.

נציב את הנתונים $a_1 = 16$ ו- $q = 0.5$ בנוסחת הסכום האינסופי:

S = \frac{16}{1 - 0.5} = \frac{16}{0.5} = 32

סכום כל אינסוף האיברים של הסדרה הוא בדיוק

32

. מדהים ופשוט!

⭐ 0/0 תשובות נכונות

בסדרה הנדסית נתון: $a_1 = 2, q = 3$ . מצאו את האיבר החמישי $a_5$ ואת סכום חמשת האיברים הראשונים.

סכום סדרה הנדסית אינסופית מתכנסת הוא $100$ ומנתה היא $q = 0.8$ . מצאו את האיבר הראשון $a_1$ .

נתקעת בנושא? בואו נפתור את זה ביחד 💪

שלחו הודעה בוואטסאפ ונתחיל שיעור ניסיון – עם הקלטה, תרגול ומענה 24/7

שלחו הודעה בוואטסאפ

סדרה הנדסית וסדרה הנדסית אינסופית מתכנסת