סדרות: איברים במקומות זוגיים ואי-זוגיים 🧮

טכניקות עבודה לחלוקת סדרה אחת לשתי תתי-סדרות (מקומות זוגיים מול אי-זוגיים) ופתרון בעיות משולבות.

הסבר מפורט

שאלות בגרות רבות עוסקות בתת-סדרות הנוצרות על ידי בחירת האיברים הנמצאים במקומות הזוגיים בלבד (

a_2, a_4, a_6, \dots

) או במקומות האי-זוגיים בלבד (

a_1, a_3, a_5, \dots

).

נלמד את התכונות של תתי-סדרות אלו:

א. עבור סדרה חשבונית

אם נתונה סדרה חשבונית בעלת הפרש

d

סדרת המקומות האי-זוגיים:

איבר ראשון: $a_1$

הפרש: $2d$ (קופצים דילוג כפול)

סדרת המקומות הזוגיים:

איבר ראשון: $a_2 = a_1 + d$

הפרש: $2d$

ב. עבור סדרה הנדסית

אם נתונה סדרה הנדסית בעלת מנה

q

סדרת המקומות האי-זוגיים:

איבר ראשון: $a_1$

מנה: $q^2$ (מכפילים פעמיים במנה)

סדרת המקומות הזוגיים:

איבר ראשון: $a_2 = a_1 \cdot q$

מנה: $q^2$

דוגמה מעשית:

בסדרה חשבונית בעלת

2n

איברים, סכום האיברים במקומות הזוגיים גדול ב

-15

מסכום האיברים במקומות האי-זוגיים. הפרש הסדרה הוא

d = 1.5

. מצאו את מספר איברי הסדרה (

2n

).

פתרון:
בסדרה בעלת

2n

איברים, ישנם בדיוק

n

איברים במקומות זוגיים ו-

n

איברים במקומות אי-זוגיים.
נרשום את המשוואה המתארת את הנתון:

S_{\text{even}} - S_{\text{odd}} = 15

נשתמש בנוסחאות הסכום עבור כל תת-סדרה (לשתיהן יש

n

איברים והפרש

2d

):
מכיוון שכל איבר במקום זוגי גדול מהאיבר האי-זוגי שלפניו בדיוק ב-

d

, הפרש הסכומים הוא פשוט:

S_{\text{even}} - S_{\text{odd}} = n \cdot d

נציב את הנתונים:

n \cdot 1.5 = 15 \implies n = 10

מספר האיברים הכולל בסדרה הוא

2n = 2 \cdot 10 = 20

איברים.

⭐ 0/0 תשובות נכונות

בסדרה הנדסית אינסופית מתכנסת שמנתה היא $q$ , סכום האיברים במקומות האי-זוגיים הוא $30$ וסכום האיברים במקומות הזוגיים הוא $15$ . מצאו את מנת הסדרה $q$ .

הוכיחו כי בסדרה חשבונית בעלת מספר איברים זוגי, הפרש הסכומים $S_{\text{even}} - S_{\text{odd}}$ אינו תלוי באיבר הראשון $a_1$ .

נתקעת בנושא? בואו נפתור את זה ביחד 💪

שלחו הודעה בוואטסאפ ונתחיל שיעור ניסיון – עם הקלטה, תרגול ומענה 24/7

שלחו הודעה בוואטסאפ

סדרות: איברים זוגיים ואי-זוגיים ושילוב סדרות