סדרות מורכבות: בניית סדרה חדשה מתוך קיימת

שיטות עבודה בבגרות 55 יחידות להגדרת סדרה bnb_n בעזרת הפרשים או מנות של סדרה ana_n והוכחת סוגה.
סדרות וחוקיות📚 תיכון ובגרות (כיתות י׳-י״ב)

סדרות: בניית סדרה חדשה מתוך סדרה קיימת 🧮

שיטות עבודה בבגרות 55 יחידות להגדרת סדרה bnb_n בעזרת הפרשים או מנות של סדרה ana_n והוכחת סוגה.

⚠️ לפני שמתחילים, ודאו שאתם שולטים ב:

הסבר מפורט

שאלת בגרות נפוצה מאוד ב−5-5 יח"ל מציגה סדרה ana_n (לרוב סדרה כללית המוגדרת על ידי כלל נסיגה) ומגדירה סדרה חדשה bnb_n באמצעות קשר מתמטי, למשל:
bn=an+1−anאוbn=an−Cb_n = a_{n+1} - a_n \quad \text{או} \quad b_n = a_n - C

מטרתנו היא להוכיח שהסדרה החדשה bnb_n היא סדרה הנדסית או חשבונית, ולחשב את סכומיה.

הוכחה שהסדרה bnb_n היא הנדסית:


עלינו להראות כי היחס בין שני איברים עוקבים בסדרה bnb_n הוא קבוע ומספרי (אינו תלוי ב-nn):
bn+1bn=q(קבוע)\frac{b_{n+1}}{b_n} = q \quad (\text{קבוע})

שלבי העבודה הקבועים:



  1. כותבים את הביטוי עבור bn+1b_{n+1} על ידי החלפת כל nn ב-n+1n+1 בנוסחה.

  2. משתמשים בכלל הנסיגה של ana_n כדי להחליף את an+1a_{n+1} ו-an+2a_{n+2} בביטויים של ana_n.

  3. מחלקים את bn+1b_{n+1} ב-bnb_n ומבצעים פירוק לגורמים וצמצום אלגברי כדי לקבל מספר קבוע.



דוגמה מעשית:


סדרה ana_n מוגדרת לפי כלל הנסיגה: an+1=3an−4a_{n+1} = 3a_n - 4. סדרה bnb_n מוגדרת לפי: bn=an−2b_n = a_n - 2.
הוכיחו כי bnb_n היא סדרה הנדסית ומצאו את מנתה.

פתרון:
נרשום את האיבר העוקב bn+1b_{n+1}:
bn+1=an+1−2b_{n+1} = a_{n+1} - 2
נציב את כלל הנסיגה של an+1a_{n+1}:
bn+1=(3an−4)−2=3an−6b_{n+1} = (3a_n - 4) - 2 = 3a_n - 6
נוציא גורם משותף 33:
bn+1=3(an−2)b_{n+1} = 3(a_n - 2)

נחלק ב-bnb_n:
bn+1bn=3(an−2)an−2=3\frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{3(a_n - 2)}{a_n - 2} = 3

היחס קבוע ושווה ל−3-3, לכן bnb_n היא סדרה הנדסית שמנתה היא q=3q = 3. זה פשוט וקל!
⭐ 0/0 תשובות נכונות
1

עבור אותה סדרה, אם נתון כי a1=5a_1 = 5, חשבו את האיבר הראשון b1b_1 ואת ערכו של a5a_5 בעזרת הסדרה bnb_n.

2

הגדירו מהו ההבדל המרכזי בין סדרה כללית לבין סדרה חשבונית או הנדסית.

נתקעת בנושא? בואו נפתור את זה ביחד 💪

שלחו הודעה בוואטסאפ ונתחיל שיעור ניסיון – עם הקלטה, תרגול ומענה 24/7

שלחו הודעה בוואטסאפ