מעגל היחידה ופונקציות טריגונומטריות

איך מעגל בעל רדיוס 11 מאפשר להגדיר סינוס וקוסינוס לכל זווית (כולל שליליות וקהות) ומעבר לרדיאנים.

מבוא למעגל היחידה בטריגונומטריה 🌐

איך מעגל בעל רדיוס 11 מאפשר להגדיר סינוס וקוסינוס לכל זווית (כולל שליליות וקהות) ומעבר לרדיאנים.


⚠️ לפני שמתחילים, ודאו שאתם שולטים ב:

הסבר מפורט

במשולש ישר זווית אנו מוגבלים לזוויות שבין 00 ל−90-90 מעלות. כדי לעבוד עם זוויות גדולות יותר (למשל 120∘120^\circ, 270∘270^\circ או אפילו זוויות שליליות), אנו משתמשים בכלי המתמטי החשוב ביותר בטריגונומטריה: מעגל היחידה.

מהו מעגל היחידה?


זהו מעגל שמרכזו בראשית הצירים (0,0)(0,0) ורדיוסו שווה בדיוק ל-11.

משוואת המעגל היא:
x2+y2=1x^2 + y^2 = 1

הגדרת הפונקציות על המעגל:


אם נבחר זווית θ\theta ונמדוד אותה מהחלק החיובי של ציר ה-xx נגד כיוון השעון, נקבל נקודה P(x,y)P(x,y) על היקף המעגל:

  • קוסינוס הזווית (cos⁡θ\cos \theta): מוגדר כשיעור ה-xx של הנקודה PP.

  • סינוס הזווית (sin⁡θ\sin \theta): מוגדר כשיעור ה-yy של הנקודה PP.

  • טנגנס הזווית (tan⁡θ\tan \theta): מוגדר כיחס yx=sin⁡θcos⁡θ\frac{y}{x} = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} (זהו גם שיפוע הישר המחבר את הנקודה עם הראשית).



סימני הפונקציות ברביעים:


מכיוון ששיעורי ה-xx וה-yy משתנים לפי המיקום במערכת הצירים, גם הסימנים של סינוס וקוסינוס משתנים:

  • רביע ראשון (0∘<θ<90∘0^\circ < \theta < 90^\circ): x>0,y>0  ⟹  sin⁡(+),cos⁡(+)x > 0, y > 0 \implies \sin(+), \cos(+)

  • רביע שני (90∘<θ<180∘90^\circ < \theta < 180^\circ): x<0,y>0  ⟹  sin⁡(+),cos⁡(−)x < 0, y > 0 \implies \sin(+), \cos(-)

  • רביע שלישי (180∘<θ<270∘180^\circ < \theta < 270^\circ): x<0,y<0  ⟹  sin⁡(−),cos⁡(−)x < 0, y < 0 \implies \sin(-), \cos(-)

  • רביע רביעי (270∘<θ<360∘270^\circ < \theta < 360^\circ): x>0,y<0  ⟹  sin⁡(−),cos⁡(+)x > 0, y < 0 \implies \sin(-), \cos(+)

1

מצאו את ערכי sin⁡(90∘)\sin(90^\circ) ו-cos⁡(180∘)\cos(180^\circ) על פי קואורדינטות הנקודות המתאימות במעגל היחידה.

2

קבעו את הסימן (חיובי או שלילי) של הביטוי הבא: sin⁡(120∘)⋅cos⁡(210∘)\sin(120^\circ) \cdot \cos(210^\circ).

נתקעת בנושא? בואו נפתור את זה ביחד 💪

שלחו הודעה בוואטסאפ ונתחיל שיעור ניסיון – עם הקלטה, תרגול ומענה 24/7

שלחו הודעה בוואטסאפ