משפט הסינוסים והקוסינוסים

הכלים החזקים ביותר לחישוב צלעות וזוויות בכל משולש כללי (שאינו ישר זווית).
טריגונומטריה📚 תיכון ובגרות (כיתות י׳-י״ב)

טריגונומטריה: משפט הסינוסים ומשפט הקוסינוסים 📐

הכלים החזקים ביותר לחישוב צלעות וזוויות בכל משולש כללי (שאינו ישר זווית).

⚠️ לפני שמתחילים, ודאו שאתם שולטים ב:

הסבר מפורט

במשולש ישר זווית אנו משתמשים בפונקציות sin⁡,cos⁡,tan⁡\sin, \cos, \tan הרגילות. אבל מה עושים כאשר המשולש הוא כללי? כאן נכנסים לתמונה שני משפטי העל של הטריגונומטריה:

א. משפט הסינוסים


בכל משולש, היחס בין אורך צלע לבין סינוס הזווית שמולה הוא קבוע, והוא שווה לקוטר המעגל החוסם את המשולש (2R2R):
asin⁡α=bsin⁡β=csin⁡γ=2R\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} = 2R



ℹ️
הערה

נשתמש במשפט הסינוסים כאשר נתונים לנו:

  1. שתי זוויות וצלע.

  2. שתי צלעות והזווית שמול אחת מהן.



ב. משפט הקוסינוסים


הכללה של משפט פיתגורס למשולש כללי. הוא מאפשר לקשר בין שלוש הצלעות לזווית אחת:
a2=b2+c2−2bccos⁡αa^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos \alpha



ℹ️
הערה

נשתמש במשפט הקוסינוסים כאשר נתונים לנו:

  1. שתי צלעות והזווית שביניהן.

  2. שלוש צלעות (כדי למצוא זווית).



דוגמה מעשית (משפט הקוסינוסים):


במשולש ABCABC נתון: b=8b = 8 ס"מ, c=5c = 5 ס"מ, והזווית ביניהן היא α=60∘\alpha = 60^\circ. חשבו את אורך הצלע aa.

פתרון:
נשתמש במשפט הקוסינוסים:
a2=82+52−2⋅8⋅5⋅cos⁡60∘a^2 = 8^2 + 5^2 - 2 \cdot 8 \cdot 5 \cdot \cos 60^\circ
נציב את הערכים המוכרים (cos⁡60∘=0.5\cos 60^\circ = 0.5):
a2=64+25−80⋅0.5a^2 = 64 + 25 - 80 \cdot 0.5
a2=89−40=49  ⟹  a=7 ס"מa^2 = 89 - 40 = 49 \implies a = 7 \text{ ס"מ}

מדהים ופשוט!
1

במשולש ABCABC נתון: a=10a = 10, α=45∘\alpha = 45^\circ ו-\β=60∘\beta = 60^\circ. חשבו את אורך הצלע bb בעזרת משפט הסינוסים.

2

מצאו את הרדיוס RR של המעגל החוסם משולש שבו צלע באורך 1212 ס"מ נמצאת מול זווית בת 30∘30^\circ.

נתקעת בנושא? בואו נפתור את זה ביחד 💪

שלחו הודעה בוואטסאפ ונתחיל שיעור ניסיון – עם הקלטה, תרגול ומענה 24/7

שלחו הודעה בוואטסאפ