גדילה ודעיכה באחוזים

היכרות עם הנוסחה הבסיסית של תהליכים מעריכיים וכיצד למצוא כמויות התחלתיות וסופיות באמצעות קצב השינוי.

בעיות גדילה ודעיכה באחוזים 📈

היכרות עם הנוסחה הבסיסית של תהליכים מעריכיים וכיצד למצוא כמויות התחלתיות וסופיות באמצעות קצב השינוי.


⚠️ לפני שמתחילים, ודאו שאתם שולטים ב:

הסבר מפורט

בעיות גדילה ודעיכה מתארות תהליכים שבהם כמות מסוימת גדלה או קטנה בכל יחידת זמן באחוז קבוע (ולא במספר קבוע).
דוגמאות נפוצות: גידול אוכלוסייה, ערך של רכב שיורד בכל שנה, או ריבית בבנק.

נוסחת הגדילה והדעיכה:


Mt=M0qtM_t = M_0 \cdot q^t

כאשר:

  • M0M_0: הכמות ההתחלתית (בזמן t=0t = 0).

  • MtM_t: הכמות הסופית לאחר זמן tt.

  • tt: הזמן שעבר (בשנים, שעות וכו').

  • qq: מקדם הגדילה או הדעיכה.



כיצד מחשבים את qq מתוך האחוז pp?



  • בתהליך גדילה (הוספה):


q=1+p100q = 1 + \frac{p}{100}

  • בתהליך דעיכה (הפחתה):


q=1p100q = 1 - \frac{p}{100}

דוגמה מעשית (גדילה):


מספר החיידקים במבחנה גדל בכל שעה ב20%-20\%. בהתחלה היו במבחנה 5,0005,000 חיידקים. כמה חיידקים יהיו בה לאחר 33 שעות?

פתרון:

  • הכמות ההתחלתית: M0=5000M_0 = 5000

  • אחוז הגידול: p=20    q=1+20100=1.2p = 20 \implies q = 1 + \frac{20}{100} = 1.2

  • הזמן: t=3t = 3 שעות



נציב בנוסחה:
M3=5000(1.2)3=50001.728=8640 חיידקיםM_3 = 5000 \cdot (1.2)^3 = 5000 \cdot 1.728 = 8640 \text{ חיידקים}

קל ופשוט ללמוד!
1

ערך של דירה בסך 1,000,0001,000,000 ש"ח יורד בכל שנה ב5%-5\%. מה יהיה ערך הדירה לאחר שנתיים?

2

אוכלוסיית יער מסוים גדלה בקצב קבוע. אם הכמות ההתחלתית הייתה 200200 עצים ולאחר שנה היו 220220 עצים, מצאו את מקדם הגידול qq ואת אחוז הגידול השנתי.

נתקעת בנושא? בואו נפתור את זה ביחד 💪

שלחו הודעה בוואטסאפ ונתחיל שיעור ניסיון – עם הקלטה, תרגול ומענה 24/7

שלחו הודעה בוואטסאפ