בעיות קיצון גיאומטריות וכלכליות

גיבוש אסטרטגיה לפתרון בעיות אופטימיזציה שבהן נדרש למצוא את הערך הגדול או הקטן ביותר של פונקציית מטרה.
חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי📚 תיכון ובגרות (כיתות י׳-י״ב)

איך פותרים בעיות קיצון (מינימום ומקסימום)? 📐

גיבוש אסטרטגיה לפתרון בעיות אופטימיזציה שבהן נדרש למצוא את הערך הגדול או הקטן ביותר של פונקציית מטרה.

⚠️ לפני שמתחילים, ודאו שאתם שולטים ב:

הסבר מפורט

בעיות קיצון הן יישום מעשי מדהים של נגזרות. המטרה היא למצוא את המצב האידיאלי (הכי זול, הכי קצר, השטח הכי גדול וכו').

שלבי הפתרון הקבועים:



  1. בחירת משתנה (xx): בוחרים גודל משתנה בבעיה וקוראים לו xx.

  2. הבעת גדלים: מביעים את שאר הגדלים בשאלה באמצעות xx.

  3. בניית פונקציית המטרה y=f(x)y = f(x): כותבים את הפונקציה המייצגת את הגודל שאת הקיצון שלו אנו מחפשים (למשל, פונקציית השטח, או פונקציית המחיר).

  4. גזירה ואיפוס: גוזרים את פונקציית המטרה, משווים לאפס ומצילים את נקודות הקיצון החשודות.

  5. הוכחת סוג הקיצון: משתמשים בנגזרת שנייה או בטבלה כדי להוכיח שאכן מדובר במקסימום או במינימום כנדרש.

  6. מענה על השאלה: מוודאים מה בדיוק התבקשנו למצוא (את xx, או את ערך הפונקציה המרבי/מזערי).



דוגמה מעשית (בעיה גיאומטרית):


מבין כל המלבנים שהיקפם הוא 4040 ס"מ, מצאו את מלבן בעל השטח המקסימלי.

פתרון:
נסמן את רוחב המלבן ב-xx.
מכיוון שהיקף המלבן הוא 4040, סכום שתי צלעות סמוכות הוא 2020. לכן, אורך המלבן הוא 20−x20 - x.

נבנה פונקציית מטרה לשטח המלבן:
S(x)=x⋅(20−x)=20x−x2S(x) = x \cdot (20 - x) = 20x - x^2

נגזור ונשווה לאפס:
S′(x)=20−2x=0  ⟹  2x=20  ⟹  x=10S'(x) = 20 - 2x = 0 \implies 2x = 20 \implies x = 10

נוודא שזהו מקסימום בעזרת הנגזרת השנייה:
S′′(x)=−2<0  ⟹  מקסימוםS''(x) = -2 < 0 \implies \text{מקסימום}

קיבלנו כי השטח המקסימלי מתקבל כאשר רוחב המלבן הוא 1010 ס"מ, מה שאומר שהאורך הוא 20−10=1020 - 10 = 10 ס"מ. כלומר, המלבן בעל השטח המקסימלי עבור היקף נתון הוא ריבוע!
1

סכום שני מספרים הוא 1212. מצאו את שני המספרים אם ידוע שמכפלתם היא מקסימלית.

2

מחיר כרטיס להופעה הוא 8080 ש"ח. במחיר זה מגיעים 200200 צופים. על כל הנחה של 55 ש"ח במחיר הכרטיס, מתווספים 2020 צופים. מצאו מהו מחיר הכרטיס שיביא להכנסה מקסימלית.

נתקעת בנושא? בואו נפתור את זה ביחד 💪

שלחו הודעה בוואטסאפ ונתחיל שיעור ניסיון – עם הקלטה, תרגול ומענה 24/7

שלחו הודעה בוואטסאפ