נגזרת מכפלה ונגזרת שרשרת

איך לגזור מכפלה של שתי פונקציות וכיצד להשתמש בחוק השרשרת לגזירת פונקציות המכילות ביטויים פנימיים.
חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי📚 תיכון ובגרות (כיתות י׳-י״ב)

נגזרת מכפלה ונגזרת שרשרת (פונקציה מורכבת) 🧮

איך לגזור מכפלה של שתי פונקציות וכיצד להשתמש בחוק השרשרת לגזירת פונקציות המכילות ביטויים פנימיים.

⚠️ לפני שמתחילים, ודאו שאתם שולטים ב:

הסבר מפורט

בבגרות 44 ו−5-5 יח"ל, כללי הגזירה מתרחבים כדי לטפל בפונקציות מורכבות יותר. נלמד שני כללים חשובים:

א. נגזרת מכפלה (ProductRule)(Product Rule)


כאשר אנו רוצים לגזור מכפלה של שתי פונקציות f(x)=u(x)⋅v(x)f(x) = u(x) \cdot v(x):
f′(x)=u′(x)⋅v(x)+u(x)⋅v′(x)f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)
ובמילים פשוטות: (נגזרת הראשונה כפול השנייה) ועוד (הראשונה כפול נגזרת השנייה).

ב. נגזרת שרשרת (ChainRule−Chain Rule - פונקציה מורכבת)


משמשת לגזירת פונקציות שיש בהן 'פונקציה בתוך פונקציה', למשל f(x)=[g(x)]nf(x) = [g(x)]^n.
הנוסחה לגזירה היא:
f′(x)=n⋅[g(x)]n−1⋅g′(x)f'(x) = n \cdot [g(x)]^{n-1} \cdot g'(x)
ובמילים פשוטות: גוזרים את ה'מעטפת החיצונית' (מורידים את החזקה ומפחיתים 11), ומכפילים בנגזרת הפנימית g′(x)g'(x).

דוגמה לנגזרת שרשרת:


גזרו את הפונקציה: f(x)=(3x2−5)4f(x) = (3x^2 - 5)^4

פתרון:
הפונקציה החיצונית היא חזקת 44, והפונקציה הפנימית היא g(x)=3x2−5g(x) = 3x^2 - 5.

  • נגזרת פנימית: g′(x)=6xg'(x) = 6x.



נפעיל את כלל השרשרת:
f′(x)=4⋅(3x2−5)3⋅(6x)f'(x) = 4 \cdot (3x^2 - 5)^3 \cdot (6x)
נכפיל את המקדמים החיצוניים:
f′(x)=24x(3x2−5)3f'(x) = 24x(3x^2 - 5)^3

עבודה שיטתית ורישום הנגזרת הפנימית בצד מונעים את רוב טעויות החישוב!
1

גזרו את פונקציית המכפלה הבאה: f(x)=x⋅(2x−3)3f(x) = x \cdot (2x - 3)^3.

2

מצאו את הנגזרת של הפונקציה המורכבת: f(x)=(x2+1)5f(x) = (x^2 + 1)^5.

נתקעת בנושא? בואו נפתור את זה ביחד 💪

שלחו הודעה בוואטסאפ ונתחיל שיעור ניסיון – עם הקלטה, תרגול ומענה 24/7

שלחו הודעה בוואטסאפ