אסימפטוטות ונקודות חור בפונקציות רציונליות 📊

איך לזהות מתי ערך המאפס את המכנה יוצר אסימפטוטה אנכית (שאיפה לאינסוף) ומתי הוא יוצר 'חור' (נקודת סליקה).

הסבר מפורט

בחקירת פונקציה רציונלית (שבר אלגברי), נקודות אי-ההגדרה (המאפסות את המכנה) יכולות להתנהג בשתי דרכים שונות בגרף: הן יוצרות אסימפטוטה אנכית או חור.

א. אסימפטוטה אנכית

אם ערך

x

מסוים מאפס את המכנה, אך לא מאפס את המונה, הוא יוצר אסימפטוטה אנכית. בגרף, הפונקציה שואפת לאינסוף או למינוס אינסוף כאשר מתקרבים לערך זה, והוא מיוצג כישר אנכי מקווקו

x = x_0

ב. נקודת חור (נקודת סליקה)

אם ערך

x

מסוים מאפס גם את המכנה וגם את המונה (כלומר מתקבל מצב של

\frac{0}{0}

), אז לאחר צמצום השבר באמצעות פירוק לגורמים, הגורם המאפס נעלם. בגרף נקבל נקודה בודדת ריקה שבה הפונקציה אינה מוגדרת, אך הגרף ממשיך כרגיל משני צדיה. נקודה זו נקראת 'חור'.

דוגמה מפורטת להבדל:

נתונה הפונקציה:

f(x) = \frac{x^2 - 9}{x^2 - 5x + 6}

פתרון:
נמצא את תחום ההגדרה על ידי איפוס המכנה:

x^2 - 5x + 6 = 0 \implies (x-3)(x-2) = 0 \implies x \neq 3, \ x \neq 2

כעת נפרק את המונה לגורמים ונסתכל על השבר:

f(x) = \frac{(x-3)(x+3)}{(x-3)(x-2)}

ננתח את שתי נקודות אי-ההגדרה:

עבור $x = 2$ : מאפס את המכנה אך לא את המונה (המונה שווה ל- $2^2-9 = -5$ ). לכן, ב- $x = 2$ יש אסימפטוטה אנכית.

עבור $x = 3$ : מאפס גם את המונה וגם את המכנה. נצמצם את הגורם המשותף $(x-3)$ ונקבל פונקציה מצומצמת:

g(x) = \frac{x + 3}{x - 2}

נציב את הנקודה

x = 3

בפונקציה המצומצמת כדי לקבל את גובה ה'חור':

y = \frac{3 + 3}{3 - 2} = \frac{6}{1} = 6

לכן, בנקודה

(3, 6)

יש חור בגרף הפונקציה.

מצאו את האסימפטוטות האנכיות ואת נקודות החור של הפונקציה: $f(x) = \frac{x - 2}{x^2 - 4}$ .

קבעו האם לגרף הפונקציה $f(x) = \frac{x^2 - x}{x}$ יש אסימפטוטה אנכית או חור ב- $x = 0$ .

נתקעת בנושא? בואו נפתור את זה ביחד 💪

שלחו הודעה בוואטסאפ ונתחיל שיעור ניסיון – עם הקלטה, תרגול ומענה 24/7

שלחו הודעה בוואטסאפ

אסימפטוטות מאונכות לצירים ונקודת חור