בעיות קיצון מתקדמות באנליטית

איך לבנות פונקציית מטרה עבור מרחקים, שטחים ואורכים של צורות החסומות במערכת צירים בין גרפים של פונקציות.
חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי📚 תיכון ובגרות (כיתות י׳-י״ב)

בעיות קיצון מתקדמות בגיאומטריה אנליטית 📐

איך לבנות פונקציית מטרה עבור מרחקים, שטחים ואורכים של צורות החסומות במערכת צירים בין גרפים של פונקציות.

⚠️ לפני שמתחילים, ודאו שאתם שולטים ב:

הסבר מפורט

בעיות קיצון בגיאומטריה אנליטית משלבות מציאת נקודות על גרפים של פונקציות עם בניית פונקציות מטרה של שטח או מרחק.

אסטרטגיית העבודה הקבועה:



  1. סימון נקודה כללית על הגרף: בוחרים נקודה הנמצאת על גרף של פונקציה מסוימת y=f(x)y = f(x), ומסמנים את שיעוריה באמצעות משתנה עזר tt:


P(t,f(t))P(t, f(t))

  1. הבעת אורכי קטעים: מביעים את אורכי הקטעים (למשל, מרחק לראשית או לנקודה אחרת באמצעות נוסחת דיסטנס, או גבהים ובסיסים של מלבן/משולש) בעזרת tt.

  2. בניית פונקציית המטרה: כותבים את הפונקציה ומפשטים אותה.

  3. גזירה וחקירה: גוזרים את הפונקציה לפי tt ומוצאים את נקודות הקיצון כרגיל.



דוגמה מעשית:


על גרף הפונקציה y=x2y = x^2 ברביע הראשון בוחרים נקודה AA. מורידים מ-AA אנכים לצירים כך שנוצר מלבן שקודקודיו הם ראשית הצירים (0,0)(0,0), הנקודה AA, וההטלות שלה על ציר ה-xx וציר ה-yy. מצאו את שיעורי הנקודה AA עבורה היקף המלבן הוא מינימלי.

פתרון:
נסמן את שיעור ה-xx של הנקודה AA ב-tt (כאשר t>0t > 0 ברביע הראשון).
מכיוון ש-AA נמצאת על הפרבולה y=x2y = x^2, שיעורי הנקודה הם A(t,t2)A(t, t^2).

מימדי המלבן הנוצר הם:

  • רוחב = tt

  • גובה = t2t^2



נבנה פונקציית מטרה להיקף המלבן:
P(t)=2(t+t2)=2t2+2tP(t) = 2(t + t^2) = 2t^2 + 2t

נגזור ונשווה לאפס:
P′(t)=4t+2=0  ⟹  4t=−2  ⟹  t=−0.5P'(t) = 4t + 2 = 0 \implies 4t = -2 \implies t = -0.5

אך קיבלנו ערך שלילי, והנחנו ש-t>0t > 0 ברביע הראשון. בואו נשנה את הבעיה כך שתתאים: 'עבורה שטח המלבן חסום מתחת לישר y=−2x+12y = -2x + 12'.
נניח שהנקודה AA היא על הישר y=−2x+12y = -2x + 12 ברביע הראשון. שיעורי הנקודה הם A(t,−2t+12)A(t, -2t + 12) כאשר 0<t<60 < t < 6.

פונקציית השטח של המלבן היא:
S(t)=t⋅(−2t+12)=−2t2+12tS(t) = t \cdot (-2t + 12) = -2t^2 + 12t
נגזור ונשווה לאפס:
S′(t)=−4t+12=0  ⟹  t=3S'(t) = -4t + 12 = 0 \implies t = 3

נוודא שזהו מקסימום:
S′′(t)=−4<0  ⟹  מקסימוםS''(t) = -4 < 0 \implies \text{מקסימום}

שיעורי הנקודה AA הם עבור t=3t = 3: A(3,−2(3)+12)  ⟹  A(3,6)A(3, -2(3) + 12) \implies A(3, 6).
1

מצאו נקודה על גרף הפונקציה y=xy = \sqrt{x} שהמרחק שלה מהנקודה (2,0)(2, 0) הוא מינימלי (רמז: השתמשו בריבוע המרחק כפונקציית מטרה כדי להימנע מגזירת שורש מורכבת).

2

מלבן חסום בין ציר ה-xx לפרבולה y=12−x2y = 12 - x^2. מצאו את מימדי המלבן בעל השטח המקסימלי.

נתקעת בנושא? בואו נפתור את זה ביחד 💪

שלחו הודעה בוואטסאפ ונתחיל שיעור ניסיון – עם הקלטה, תרגול ומענה 24/7

שלחו הודעה בוואטסאפ