חקירת פונקציות טריגונומטריות בחדו"א 📊

איך לגזור ולחקור פונקציות המכילות

sin(x)

-cos(x)

בתחום נתון ברדיאנים, ומציאת נקודות קיצון.

הסבר מפורט

חקירת פונקציות טריגונומטריות (כמו

y = \sin x

y = \cos x

y = \tan x

) בחשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי נעשית אך ורק במערכת הרדיאנים (ולא במעלות).

המעבר החשוב: $180^\circ = \pi \text{ רדיאנים}$ . (למשל $90^\circ = \frac{\pi}{2}$ ).

(\sin x)' = \cos x

(\cos x)' = -\sin x

(\tan x)' = \frac{1}{\cos^2 x}

פונקציות טריגונומטריות הן מחזוריות ולכן יש להן אינסוף נקודות קיצון. בגלל זה, בבגרות תמיד מגבילים את החקירה לתחום סגור מוגדר (למשל

0 \le x \le 2\pi

חקרו ומצאו את נקודות הקיצון של הפונקציה

f(x) = \sin(2x)

בתחום

[0, \pi]

.

פתרון:
נגזור את הפונקציה לפי חוק השרשרת:

f'(x) = \cos(2x) \cdot 2 = 2\cos(2x)

נשווה את הנגזרת לאפס:

2\cos(2x) = 0 \implies \cos(2x) = 0

פתרון כללי לקוסינוס השווה לאפס:

2x = \frac{\pi}{2} + \pi k \implies x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2} k

נמצא את ערכי

x

הנמצאים בתוך התחום הסגור

[0, \pi]

על ידי הצבת ערכי

k

שלמים:

עבור $k = 1$ : $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{4}$ (נמצא בתחום).

נוסיף גם את נקודות הקצה של התחום

x=0

ו-

x=\pi

לטבלה כדי לקבוע את סוג הקיצון המלא של הפונקציה.

גזרו את הפונקציה המורכבת הבאה: $f(x) = \cos^2 x$ (רמז: השתמשו בחוק השרשרת לפונקציה מורכבת).

מצאו את נקודות החיתוך עם ציר ה- $x$ של הפונקציה $f(x) = \sin x - 0.5$ בתחום $[0, \pi]$ .

שלחו הודעה בוואטסאפ ונתחיל שיעור ניסיון – עם הקלטה, תרגול ומענה 24/7