איך מוצאים משוואת משיק לפונקציה? 🧮

הבנת המשמעות הגיאומטרית של הנגזרת כשיפוע המשיק, ושלבי העבודה למציאת משוואת הישר המשיק.

הסבר מפורט

המשיק לפונקציה בנקודה מסוימת הוא קו ישר אשר 'נוגע' בפונקציה בדיוק באותה נקודה ויש לו את אותו השיפוע שיש לפונקציה שם.

הקשר הקדוש של החדו"א הוא:

\text{שיפוע המשיק } (m) = f'(x_0)

כאשר

x_0

הוא שיעור ה-

x

של נקודת ההשקה.

מציאת נקודת השקה מלאה: אם נתון רק $x_0$ , מציבים אותו בפונקציה המקורית $f(x)$ כדי למצוא את שיעור ה- $y_0$ .

חישוב שיפוע המשיק ( $m$ ): גוזרים את הפונקציה ומציבים את $x_0$ בנגזרת $f'(x)$ .

בניית משוואת ישר: משתמשים בנוסחה המוכרת למציאת משוואת ישר על פי נקודה ושיפוע:

y - y_0 = m(x - x_0)

מצאו את משוואת המשיק לפונקציה

f(x) = x^2 - 4x + 5

בנקודה שבה

x = 3

.

פתרון:
שלב $1$ : מציאת נקודת ההשקה.
נציב

x_0 = 3

בפונקציה המקורית:

y_0 = f(3) = 3^2 - 4 \cdot 3 + 5 = 9 - 12 + 5 = 2

נקודת ההשקה היא

(3, 2)

.

שלב $2$ : מציאת שיפוע המשיק ( $m$ ).
נגזור את הפונקציה:

f'(x) = 2x - 4

נציב את ה-

x

של נקודת ההשקה בנגזרת:

m = f'(3) = 2 \cdot 3 - 4 = 2

שלב $3$ : כתיבת משוואת המשיק.
נציב את הנקודה

(3, 2)

והשיפוע

m = 2

בנוסחת הישר:

y - 2 = 2(x - 3)

y - 2 = 2x - 6 \implies y = 2x - 4

משוואת המשיק היא

y = 2x - 4

. פשוט וברור!

מצאו את משוואת המשיק לפונקציה $f(x) = x^3 - 2x$ בנקודה שבה $x = 1$ .

נתונה הפונקציה $f(x) = \frac{4}{x}$ . מצאו את משוואת המשיק לה בנקודה שבה $x = 2$ .

שלחו הודעה בוואטסאפ ונתחיל שיעור ניסיון – עם הקלטה, תרגול ומענה 24/7