הסתברות מותנית ונוסחת ברנולי

איך לזהות שאלות של הסתברות מותנית מתוך טקסט, ואיך לחשב הסתברויות להצלחות מרובות בעזרת נוסחת ברנולי.
הסתברות📚 תיכון ובגרות (כיתות י׳-י״ב)

הסתברות מותנית ונוסחת ברנולי בבגרות 🎲

איך לזהות שאלות של הסתברות מותנית מתוך טקסט, ואיך לחשב הסתברויות להצלחות מרובות בעזרת נוסחת ברנולי.

⚠️ לפני שמתחילים, ודאו שאתם שולטים ב:

הסבר מפורט

בבגרות 44 יח"ל, שאלות הסתברות הופכות למתוחכמות יותר. נלמד שני כלים מרכזיים:

א. הסתברות מותנית


מתארת מצב שבו אנו מחשבים הסתברות של מאורע AA, בהינתן מידע מוקדם שמאורע BB כבר התרחש.
נוסחת ההסתברות המותנית היא:
P(A∣B)=P(A∩B)P(B)P(A | B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}



💡
טיפ

איך מזהים הסתברות מותנית בטקסט? מחפשים מילות מפתח כמו: 'ידוע ש...', 'אם נתון ש...', 'מבין אלו ש...'. המאורע הידוע הוא ה-BB, והוא נכנס למכנה של הנוסחה.


ב. נוסחת ברנולי (התפלגות בינומית)


נוסחה המאפשרת לחשב את ההסתברות לקבל בדיוק kk הצלחות מתוך nn ניסויים בלתי תלויים, כאשר ההסתברות להצלחה בניסוי בודד היא pp:
Pn(k)=(nk)pk(1−p)n−kP_n(k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}
כאשר (nk)=n!k!(n−k)!\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} הוא המקדם הבינומי (מחושב במחשבון בעזרת מקש nCrnCr).

דוגמה לברנולי:


הסתברות של קלע לפגוע במטרה היא 0.70.7. הוא יורה 55 פעמים. מהי ההסתברות שהוא יפגע בדיוק 33 פעמים?

פתרון:

  • מספר הניסויים: n=5n = 5

  • מספר ההצלחות המבוקש: k=3k = 3

  • הסתברות להצלחה: p=0.7p = 0.7, הסתברות לכישלון: 1−p=0.31-p = 0.3



נציב בנוסחת ברנולי:
P5(3)=(53)⋅0.73⋅0.32=10⋅0.343⋅0.09=0.3087P_5(3) = \binom{5}{3} \cdot 0.7^3 \cdot 0.3^2 = 10 \cdot 0.343 \cdot 0.09 = 0.3087
1

ידוע כי 60%60\% מהתלמידים בבית ספר אוהבים ספורט, ו−40%-40\% אוהבים מוזיקה. 30%30\% אוהבים גם ספורט וגם מוזיקה. בוחרים באקראי תלמיד שאוהב ספורט. מהי ההסתברות שהוא אוהב גם מוזיקה?

2

הסתברות ללדת בן היא 0.50.5. למשפחה יש 44 ילדים. מהי ההסתברות שיש להם בדיוק 22 בנים?

נתקעת בנושא? בואו נפתור את זה ביחד 💪

שלחו הודעה בוואטסאפ ונתחיל שיעור ניסיון – עם הקלטה, תרגול ומענה 24/7

שלחו הודעה בוואטסאפ