חוקי הזהב של דיאגרמת עץ:

1. חוק המכפלה (לאורך ענף): כדי למצוא את ההסתברות של שרשרת מאורעות מסוימת (למשל, 'ראשון אדום וגם שני כחול'), מכפילים את ההסתברויות לאורך הענפים המתאימים.


2. חוק הסכום (בין ענפים): אם אנו מחפשים הסתברות של מספר אפשרויות שונות (למשל, 'שני כדורים באותו צבע' - כלומר אדום-אדום או כחול-כחול), מחשבים את ההסתברות של כל ענף בנפרד ומחברים את התוצאות.


3. סכום הפיצולים: סכום ההסתברויות של כל הענפים היוצאים מנקודה אחת חייב להיות תמיד שווה ל-$1$.

בעיות 'עם החזרה' לעומת 'בלי החזרה':

• עם החזרה: לאחר הוצאת הפריט הראשון, מחזירים אותו חזרה לכד. לכן, ההסתברויות בשלב השני נשארות בדיוק אותו הדבר כמו בשלב הראשון.


• בלי החזרה: הפריט שהוצא נשאר בחוץ. לכן, בשלב השני מספר הפריטים הכולל בכד קטן ב$-1$, וגם מספר הפריטים מהסוג שהוצא קטן ב$-1$. ההסתברויות בשלב השני משתנות!

דוגמה מפורטת (בלי החזרה):

• הוצאה ראשונה:


• לבן (ל): $\frac{6}{10}$


• שחור (ש): $\frac{4}{10}$


• הוצאה שנייה (בלי החזרה, נותרו $9$ כדורים בכד):


• אם ראשון לבן (נותרו $5$ לבנים ו$-4$ שחורים):


• שני לבן: $\frac{5}{9}$


• שני שחור: $\frac{4}{9}$


• אם ראשון שחור (נותרו $6$ לבנים ו$-3$ שחורים):


• שני לבן: $\frac{6}{9}$


• שני שחור: $\frac{3}{9}$

• הסתברות ל-(לבן, שחור): $\frac{6}{10} \cdot \frac{4}{9} = \frac{24}{90}$


• הסתברות ל-(שחור, לבן): $\frac{4}{10} \cdot \frac{6}{9} = \frac{24}{90}$