וקטורים: מכפלה סקלרית ואורך

איך לחשב מכפלה סקלרית של וקטורים אלגבריים וגיאומטריים, חישוב אורך וקטור ומציאת הזווית שביניהם.
וקטורים📚 תיכון ובגרות (כיתות י׳-י״ב)5 יח״ל

וקטורים: מכפלה סקלרית ואורך וקטור 📐

איך לחשב מכפלה סקלרית של וקטורים אלגבריים וגיאומטריים, חישוב אורך וקטור ומציאת הזווית שביניהם.

⚠️ לפני שמתחילים, ודאו שאתם שולטים ב:

הסבר מפורט

המכפלה הסקלרית היא כלי מרכזי בוקטורים המאפשר לקשר בין גיאומטריה (זוויות ואורכים) לבין אלגברה.

א. הגדרת המכפלה הסקלרית



  • הגדרה גיאומטרית:


u⃗⋅v⃗=∣u⃗∣⋅∣v⃗∣⋅cos⁡θ\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot \cos \theta
כאשר ∣u⃗∣|\vec{u}| ו-∣v⃗∣|\vec{v}| הם אורכי הוקטורים, ו-θ\theta היא הזווית שביניהם.

  • הגדרה אלגברית (רכיבים במרחב):


(x1,y1,z1)⋅(x2,y2,z2)=x1x2+y1y2+z1z2(x_1, y_1, z_1) \cdot (x_2, y_2, z_2) = x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2

ב. תנאי ניצבות (מאונכים)


מכיוון ש-cos⁡90∘=0\cos 90^\circ = 0, שני וקטורים שאינם אפס מאונכים זה לזה אם ורק אם המכפלה הסקלרית שלהם שווה לאפס:
u⃗⋅v⃗=0\vec{u} \cdot \vec{v} = 0

ג. אורך וקטור


אורך של וקטור אלגברי מבוסס על מרחק תלת-ממדי מהראשית:
∣u⃗∣=x2+y2+z2|\vec{u}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}

דוגמה מעשית:


מצאו את הזווית שבין הוקטורים u⃗=(1,2,2)\vec{u} = (1, 2, 2) ו-\v⃗=(2,0,2)\vec{v} = (2, 0, 2).

פתרון:

  1. נחשב את המכפלה הסקלרית האלגברית:


u⃗⋅v⃗=1⋅2+2⋅0+2⋅2=2+0+4=6\vec{u} \cdot \vec{v} = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 0 + 2 \cdot 2 = 2 + 0 + 4 = 6

  1. נחשב את אורכי הוקטורים:


∣u⃗∣=12+22+22=9=3|\vec{u}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{9} = 3
∣v⃗∣=22+02+22=8=22|\vec{v}| = \sqrt{2^2 + 0^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}

  1. נציב בנוסחת הזווית:


cos⁡θ=u⃗⋅v⃗∣u⃗∣⋅∣v⃗∣=63⋅22=662=12\cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|} = \frac{6}{3 \cdot 2\sqrt{2}} = \frac{6}{6\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}
θ=45∘\theta = 45^\circ

הזווית בין הוקטורים היא 45∘45^\circ. פשוט ללמוד!
1

הוכיחו כי הוקטורים u⃗=(2,−3,4)\vec{u} = (2, -3, 4) ו-\v⃗=(5,2,−1)\vec{v} = (5, 2, -1) מאונכים זה לזה.

2

נתון כי ∣u⃗∣=5|\vec{u}| = 5 ו-∣v⃗∣=8|\vec{v}| = 8 והזווית ביניהם היא 60∘60^\circ. חשבו את המכפלה הסקלרית שלהם.

נתקעת בנושא? בואו נפתור את זה ביחד 💪

שלחו הודעה בוואטסאפ ונתחיל שיעור ניסיון – עם הקלטה, תרגול ומענה 24/7

שלחו הודעה בוואטסאפ