משוואת ישר ומישור במרחב

איך לבנות הצגה פרמטרית של ישר ומישור במרחב, ומעבר למשוואה האלגברית של המישור.
וקטורים📚 תיכון ובגרות (כיתות י׳-י״ב)

וקטורים במרחב: משוואת ישר ומישור 📐

איך לבנות הצגה פרמטרית של ישר ומישור במרחב, ומעבר למשוואה האלגברית של המישור.

⚠️ לפני שמתחילים, ודאו שאתם שולטים ב:

הסבר מפורט

במרחב התלת-ממדי, אנו מציגים ישרים ומישורים בעזרת וקטורים:

א. הצגה פרמטרית של ישר במרחב


ישר במרחב נקבע על פי נקודה A(x0,y0,z0)A(x_0, y_0, z_0) שעל הישר, ווקטור כיוון v⃗=(a,b,c)\vec{v} = (a, b, c):
x‾=(x0,y0,z0)+t(a,b,c)\underline{x} = (x_0, y_0, z_0) + t(a, b, c)
כאשר tt הוא פרמטר ממשי (מספר סקלרי).

ב. הצגה פרמטרית של מישור


מישור נקבע על פי נקודה A(x0,y0,z0)A(x_0, y_0, z_0) ושני וקטורי כיוון בלתי תלויים u⃗\vec{u} ו-\v⃗\vec{v} המובילים במישור:
x‾=(x0,y0,z0)+tu⃗+sv⃗\underline{x} = (x_0, y_0, z_0) + t\vec{u} + s\vec{v}
כאשר tt ו-ss הם פרמטרים חופשיים.

ג. המשוואה האלגברית (הכללית) של המישור


נוסחה קלה ומקוצרת המציגה מישור ללא פרמטרים:
Ax+By+Cz+D=0Ax + By + Cz + D = 0
כאשר הוקטור n⃗=(A,B,C)\vec{n} = (A, B, C) הוא וקטור הנורמל למישור (וקטור המאונך למישור ולכל ישר שנמצא בו).

דוגמה מעשית (מעבר למשוואת מישור):


מצאו את משוואת המישור העובר בראשית הצירים (0,0,0)(0,0,0) ובעל נורמל n⃗=(2,−1,3)\vec{n} = (2, -1, 3).

פתרון:
נרשום את משוואת המישור לפי רכיבי הנורמל:
2x−y+3z+D=02x - y + 3z + D = 0
נציב את נקודת המעבר (0,0,0)(0,0,0) כדי למצוא את DD:
2(0)−0+3(0)+D=0  ⟹  D=02(0) - 0 + 3(0) + D = 0 \implies D = 0

משוואת המישור היא 2x−y+3z=02x - y + 3z = 0.
1

רשמו הצגה פרמטרית של ישר העובר בנקודה (1,2,3)(1, 2, 3) ובכיוון הוקטור (2,0,−1)(2, 0, -1).

2

מצאו את וקטור הנורמל למישור שמשוואתו היא 3x+4y−z+5=03x + 4y - z + 5 = 0.

נתקעת בנושא? בואו נפתור את זה ביחד 💪

שלחו הודעה בוואטסאפ ונתחיל שיעור ניסיון – עם הקלטה, תרגול ומענה 24/7

שלחו הודעה בוואטסאפ