אינטגרל שברי המוביל לפונקציית לוגריתם 🧮

הבנת כלל האינטגרציה החשוב שבו שבר מהצורה f'

\frac{x}{f}(x)

הופך ללוגריתם טבעי ln|

f(x)

הסבר מפורט

כאשר למדנו אינטגרל של פונקציית חזקה

\int x^n dx

, ציינו שהנוסחה נכונה רק עבור

n \neq -1

. מה קורה כאשר אנו צריכים לעשות אינטגרל לביטוי

\frac{1}{x}

(שהוא

x^{-1}

)?

פעולה הפוכה לנגזרת של

\ln x

(שהיא

\frac{1}{x}

) מראה לנו ש:

\int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C

אם יש לנו שבר שבו המונה הוא בדיוק הנגזרת של המכנה (או כפולה שלה), האינטגרל שלו יהיה לוגריתם טבעי של המכנה בערך מוחלט:

\int \frac{f'(x)}{f(x)} dx = \ln|f(x)| + C

חשבו את האינטגרל הבא:

\int \frac{2x}{x^2 + 3} dx

פתרון:
נבחן את המכנה והמונה:

לפי הכלל המורחב, האינטגרל הוא מיידי:

\int \frac{2x}{x^2 + 3} dx = \ln(x^2 + 3) + C

(אין צורך בערך מוחלט במקרה זה כיוון ש-

x^2 + 3

הוא תמיד חיובי).

חשבו את האינטגרל הבא: $\int \frac{1}{2x - 5} dx$ (שימו לב: המונה הוא $1$ , נדרש כפל וחילוק במקדם כדי להגיע לנגזרת המדויקת $2$ ).

חשבו את האינטגרל המסוים הבא: $\int_{1}^{2} \frac{3}{x} dx$ .

שלחו הודעה בוואטסאפ ונתחיל שיעור ניסיון – עם הקלטה, תרגול ומענה 24/7