אינטגרלים של פונקציות טריגונומטריות

נוסחאות למציאת פונקציה קדומה של sin(x)sin(x) ו−cos(x)-cos(x) וחישוב שטחים הכלואים תחת גלי סינוס.
חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי📚 תיכון ובגרות (כיתות י׳-י״ב)

אינטגרל של פונקציות טריגונומטריות 🧮

נוסחאות למציאת פונקציה קדומה של sin(x)sin(x) ו−cos(x)-cos(x) וחישוב שטחים הכלואים תחת גלי סינוס.

⚠️ לפני שמתחילים, ודאו שאתם שולטים ב:

הסבר מפורט

בדיוק כמו שגזרנו פונקציות טריגונומטריות, פעולת האינטגרל מבצעת את המעבר ההפוך. עלינו לשים לב היטב לסימנים הפלוס והמינוס, שהם מקור נפוץ לטעויות בבגרות.

נוסחאות היסוד של האינטגרל הטריגונומטרי:



  1. עבור סינוס:


∫sin⁡xdx=−cos⁡x+C\int \sin x dx = -\cos x + C
(מכיוון שהנגזרת של cos⁡x\cos x היא −sin⁡x-\sin x, האינטגרל של sin⁡x\sin x דורש מינוס).


  1. עבור קוסינוס:


∫cos⁡xdx=sin⁡x+C\int \cos x dx = \sin x + C


  1. עבור ביטוי לינארי פנימי (ax+bax+b): מבצעים אינטגרל כרגיל ומחלקים במקדם של xx:


∫sin⁡(ax+b)dx=−cos⁡(ax+b)a+C\int \sin(ax + b) dx = -\frac{\cos(ax + b)}{a} + C
∫cos⁡(ax+b)dx=sin⁡(ax+b)a+C\int \cos(ax + b) dx = \frac{\sin(ax + b)}{a} + C

דוגמה מפורטת:


חשבו את האינטגרל המסוים הבא בתחום הרדיאנים:
∫0π2cos⁡(2x)dx\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos(2x) dx

פתרון:
נמצא את הפונקציה הקדומה של cos⁡(2x)\cos(2x):
F(x)=sin⁡(2x)2F(x) = \frac{\sin(2x)}{2}
כעת נציב את גבולות האינטגרציה:
F(π2)=sin⁡(π)2=02=0F\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{\sin(\pi)}{2} = \frac{0}{2} = 0
F(0)=sin⁡(0)2=0F(0) = \frac{\sin(0)}{2} = 0
S=0−0=0S = 0 - 0 = 0

הערה: תוצאת האינטגרל היא אפס מכיוון שבתחום זה הגרף מורכב משני שטחים שווים בגודלם - אחד מעל ציר ה-xx ואחד מתחתיו, שמבטלים זה את זה.
1

חשבו את האינטגרל הבא: ∫(2sin⁡x+3cos⁡(3x))dx\int (2\sin x + 3\cos(3x)) dx.

2

מצאו את השטח הכלוא מתחת לקשת הראשונה של פונקציית הסינוס f(x)=sin⁡xf(x) = \sin x שבין x=0x=0 ל-x=πx=\pi.

נתקעת בנושא? בואו נפתור את זה ביחד 💪

שלחו הודעה בוואטסאפ ונתחיל שיעור ניסיון – עם הקלטה, תרגול ומענה 24/7

שלחו הודעה בוואטסאפ