אינטגרלים של פונקציות פולינום ושבר

הבנת מושג האינטגרל כפעולה הפוכה לגזירה (אנטי-נגזרת), ונוסחאות בסיסיות לפולינומים וחזקות.
חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי📚 תיכון ובגרות (כיתות י׳-י״ב)

מבוא לאינטגרלים ופונקציה קדומה 🧮

הבנת מושג האינטגרל כפעולה הפוכה לגזירה (אנטי-נגזרת), ונוסחאות בסיסיות לפולינומים וחזקות.

⚠️ לפני שמתחילים, ודאו שאתם שולטים ב:

הסבר מפורט

חשבון אינטגרלי עוסק בפעולה ההפוכה לפעולת הגזירה. אם נתונה לנו נגזרת f′(x)f'(x), אנו מחפשים את הפונקציה המקורית f(x)f(x), הנקראת הפונקציה הקדומה.

סימן האינטגרל הוא ∫\int.

א. אינטגרל לא מסוים (נוסחאות יסוד):


עבור פונקציית חזקה xnx^n (כאשר n≠−1n \neq -1):
∫xndx=xn+1n+1+C\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C
כאשר CC הוא קבוע האינטגרציה (מספר כלשהו שנעלם בזמן הגזירה).

ב. כללים חשובים:



  • אינטגרל של מספר קבוע aa הוא axax:


∫adx=ax+C\int a dx = ax + C

  • אינטגרל של פונקציה כפול קבוע kk:


∫kf(x)dx=k∫f(x)dx\int k f(x) dx = k \int f(x) dx

  • אינטגרל של סכום והפרש מבוצע לכל איבר בנפרד.



דוגמה מפורטת:


חשבו את האינטגרל הבא:
∫(3x2−4x+5)dx\int (3x^2 - 4x + 5) dx

פתרון:
נבצע אינטגרל איבר-איבר לפי הנוסחה:
∫3x2dx=3⋅x33=x3\int 3x^2 dx = 3 \cdot \frac{x^3}{3} = x^3
∫−4xdx=−4⋅x22=−2x2\int -4x dx = -4 \cdot \frac{x^2}{2} = -2x^2
∫5dx=5x\int 5 dx = 5x

נחבר את האיברים ונוסיף את הקבוע CC:
F(x)=x3−2x2+5x+CF(x) = x^3 - 2x^2 + 5x + C



💡
טיפ

איך בודקים אם פתרנו נכון? פשוט גוזרים את התשובה שקיבלנו! אם הגזירה מחזירה אותנו בדיוק לביטוי שבתוך האינטגרל, הפתרון נכון ומדויק.

1

חשבו את האינטגרל הבא: ∫(x3−2x+1)dx\int (x^3 - 2x + 1) dx.

2

מצאו פונקציה קדומה F(x)F(x) לפונקציה f(x)=2x−4f(x) = 2x - 4 העוברת בנקודה (3,5)(3, 5) (הציבו את הנקודה כדי למצוא את CC).

נתקעת בנושא? בואו נפתור את זה ביחד 💪

שלחו הודעה בוואטסאפ ונתחיל שיעור ניסיון – עם הקלטה, תרגול ומענה 24/7

שלחו הודעה בוואטסאפ