חישוב שטחים מורכבים באינטגרלים

איך לחשב שטחים הכלואים בין פונקציות וצירים, ומתי נדרש לפצל את השטח לשני אינטגרלים נפרדים.
חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי📚 תיכון ובגרות (כיתות י׳-י״ב)

חישוב שטחים ופיצול שטחים באינטגרלים 📊

איך לחשב שטחים הכלואים בין פונקציות וצירים, ומתי נדרש לפצל את השטח לשני אינטגרלים נפרדים.

⚠️ לפני שמתחילים, ודאו שאתם שולטים ב:

הסבר מפורט

השימוש המרכזי של אינטגרל מסוים בתיכון הוא חישוב שטחים במישור הצירים.

א. שטח בין פונקציה לציר ה-xx


השטח הכלוא בין פונקציה f(x)f(x) לציר ה-xx בתחום שבין x=ax=a ל-x=bx=b מחושב בעזרת אינטגרל מסוים:
S=∫abf(x)dxS = \int_{a}^{b} f(x) dx



⚠️
אזהרה

חוק השטח השלילי: אם הפונקציה נמצאת מתחת לציר ה-xx בתחום האינטגרציה, תוצאת האינטגרל תהיה שלילית. כיוון ששטח חייב להיות חיובי, אנו שמים סימן מינוס לפני האינטגרל (או משתמשים בערך מוחלט):
S=−∫abf(x)dxS = -\int_{a}^{b} f(x) dx


ב. שטח בין שתי פונקציות


כאשר מחשבים שטח הכלוא בין פונקציה עליונה f(x)f(x) לפונקציה תחתונה g(x)g(x):
S=∫ab[f(x)−g(x)]dxS = \int_{a}^{b} [f(x) - g(x)] dx
(הפונקציה העליונה פחות הפונקציה התחתונה).

ג. פיצול שטחים


אם במהלך התחום שבין aa ל-bb הפונקציה העליונה או התחתונה מתחלפת (למשל, בהתחלה הגבול התחתון הוא ציר ה-xx ולאחר מכן הוא ישר אחר), אסור לחשב זאת כאינטגרל אחד! יש למצוא את נקודת המפגש האמצעית, לפצל את השטח לשני שטחים נפרדים S1S_1 ו-S2S_2, ולחבר את התוצאות.

דוגמה מעשית (פיצול שטח):


מצאו את השטח הכלוא בין f(x)=x2f(x) = x^2, הישר y=−x+2y = -x + 2 וציר ה-xx ברביע הראשון.

פתרון:
נצייר את הגרפים ונסתכל על הגבול העליון:

  • נקודת החיתוך בין הפונקציה לישר: x2=−x+2  ⟹  x2+x−2=0  ⟹  (x+2)(x−1)=0  ⟹  x=1x^2 = -x + 2 \implies x^2 + x - 2 = 0 \implies (x+2)(x-1) = 0 \implies x = 1 ברביע הראשון.

  • הישר חותך את ציר ה-xx ב-x=2x = 2.



נשים לב כי השטח מוגבל מלמעלה על ידי שתי פונקציות שונות:

  • מתחום 00 עד 11: הגבול העליון הוא הפונקציה x2x^2.

  • מתחום 11 עד 22: הגבול העליון הוא הישר −x+2-x + 2.



נפצל לשני אינטגרלים:
S1=∫01x2dx=[x33]01=13S_1 = \int_{0}^{1} x^2 dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{3}
S2=∫12(−x+2)dx=[−x22+2x]12=(−2+4)−(−0.5+2)=2−1.5=0.5S_2 = \int_{1}^{2} (-x + 2) dx = \left[ -\frac{x^2}{2} + 2x \right]_{1}^{2} = (-2 + 4) - (-0.5 + 2) = 2 - 1.5 = 0.5

השטח הכולל הוא:
S=S1+S2=13+12=56≈0.833S = S_1 + S_2 = \frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{5}{6} \approx 0.833.
1

חשבו את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה f(x)=−x2+4f(x) = -x^2 + 4 לציר ה-xx.

2

מצאו את השטח הכלוא בין שתי הפונקציות f(x)=x2f(x) = x^2 ו-g(x)=xg(x) = x.

נתקעת בנושא? בואו נפתור את זה ביחד 💪

שלחו הודעה בוואטסאפ ונתחיל שיעור ניסיון – עם הקלטה, תרגול ומענה 24/7

שלחו הודעה בוואטסאפ