הקשר בין פונקציה, נגזרת ופונקציה קדומה 📊

הבנת הקשרים האיכותיים בבגרות: איך לזהות ולשרטט את גרף הנגזרת מתוך הפונקציה ולהפך.

הסבר מפורט

שאלות רבות בבגרות

5

יח"ל אינן דורשות חישובים אלגבריים, אלא בודקות הבנה איכותית והיסק גרפי של הקשרים בין פונקציה

f(x)

, נגזרתה

f'(x)

ופונקציית השטח (הקדומה)

F(x)

| גרף הפונקציה

f(x)

| גרף הנגזרת

f'(x)

|
|---|---|
| נקודת קיצון (מינימום או מקסימום) | חיתוך עם ציר ה-

x

(

f'(x) = 0

) |
| תחום עלייה | גרף מעל ציר ה-

x

(חיובי) |
| תחום ירידה | גרף מתחת לציר ה-

x

(שלילי) |
| נקודת פיתול | נקודת קיצון של הנגזרת (

f''(x) = 0

) |

פונקציית השטח

S(x)

המודדת את השטח הכלוא מתחת לפונקציה

f(x)

מוגדרת כפונקציה קדומה

F(x)

. לכן, מתקיים:

S'(x) = f(x)

הפונקציה המקורית

f(x)

היא הנגזרת של פונקציית השטח

S(x)

! זה אומר שאנו יכולים לחקור את תכונות העלייה והקיצון של פונקציית השטח ישירות מתוך הערכים (חיוביות/שליליות) של גרף הפונקציה המקורית

f(x)

נתון גרף הנגזרת

f'(x)

שהוא קו ישר יורד החותך את ציר ה-

x

ב-

x = 3

. תארו את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה המקורית

f(x)

וקבעו את סוג הקיצון ב-

x=3

.

פתרון:

עבור $x < 3$ : גרף הנגזרת נמצא מעל ציר ה- $x$ (חיובי) $\implies$ הפונקציה $f(x)$ עולה.

עבור $x > 3$ : גרף הנגזרת נמצא מתחת לציר ה- $x$ (שלילי) $\implies$ הפונקציה $f(x)$ יורדת.

ב- $x = 3$ : הנגזרת מתאפסת ועוברת מחיובית לשלילית, לכן ב- $x=3$ לפונקציה $f(x)$ יש נקודת מקסימום.

נתון כי לפונקציה $f(x)$ יש נקודת פיתול ב- $x=2$ . מה מתרחש בגרף הנגזרת $f'(x)$ ב- $x=2$ ?

הסבירו מדוע אם פונקציה היא חיובית תמיד בכל התחום, פונקציית השטח המצטבר שלה עולה תמיד.

שלחו הודעה בוואטסאפ ונתחיל שיעור ניסיון – עם הקלטה, תרגול ומענה 24/7