נפח גוף סיבוב

איך לחשב נפח של גוף תלת-ממדי הנוצר מסיבוב של פונקציה סביב ציר ה−x-x בטווח נתון.
חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי📚 תיכון ובגרות (כיתות י׳-י״ב)

נפח גוף סיבוב בחשבון אינטגרלי 📐

איך לחשב נפח של גוף תלת-ממדי הנוצר מסיבוב של פונקציה סביב ציר ה−x-x בטווח נתון.

⚠️ לפני שמתחילים, ודאו שאתם שולטים ב:

הסבר מפורט

כאשר אנו לוקחים שטח דו-ממדי הכלוא מתחת לפונקציה y=f(x)y = f(x) ומסובבים אותו ב−360-360 מעלות סביב ציר ה-xx, נוצר גוף תלת-ממדי סימטרי הנקרא גוף סיבוב.

נפח גוף סיבוב זה מחושב בעזרת נוסחה מבוססת אינטגרלים, שבה אנו מדמיינים את הגוף כאוסף של אינסוף דיסקיות גליליות קטנות בעלות רדיוס f(x)f(x) ועובי dxdx:

נוסחת נפח גוף סיבוב:


V=π∫ab[f(x)]2dxV = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 dx



🚨
חשוב

אל תשכחו להכפיל ב-π\pi מחוץ לאינטגרל! זוהי אחת הטעויות הנפוצות ביותר בבחינת הבגרות ב−5-5 יחידות.


דוגמה מעשית:


חשבו את נפח גוף הסיבוב הנוצר על ידי סיבוב הפונקציה f(x)=xf(x) = \sqrt{x} סביב ציר ה-xx בתחום שבין x=0x=0 ל-x=4x=4.

פתרון:
נשתמש בנוסחת נפח גוף סיבוב:
V=π∫04[x]2dxV = \pi \int_{0}^{4} [\sqrt{x}]^2 dx
מכיוון ש-(x)2=x(\sqrt{x})^2 = x:
V=π∫04xdxV = \pi \int_{0}^{4} x dx
נבצע אינטגרל לפונקציה xx:
V=π[x22]04=π(422−022)=π(8−0)=8πV = \pi \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{4} = \pi \left( \frac{4^2}{2} - \frac{0^2}{2} \right) = \pi (8 - 0) = 8\pi

נפח גוף הסיבוב הוא 8π8\pi יחידות נפח. פשוט ומדויק!
1

מצאו את נפח גוף הסיבוב הנוצר על ידי סיבוב הפונקציה הלינארית f(x)=2xf(x) = 2x סביב ציר ה-xx בתחום שבין x=0x=0 ל-x=3x=3 (השוו את התוצאה לנוסחת נפח של חרוט).

2

חשבו את נפח גוף הסיבוב עבור הפונקציה f(x)=exf(x) = e^x בתחום שבין x=0x=0 ל-x=1x=1.

נתקעת בנושא? בואו נפתור את זה ביחד 💪

שלחו הודעה בוואטסאפ ונתחיל שיעור ניסיון – עם הקלטה, תרגול ומענה 24/7

שלחו הודעה בוואטסאפ