שיטת ההצבה באינטגרלים

לימוד טכניקת ההצבה (substitution)(substitution) לפישוט ופתרון אינטגרלים מורכבים בבגרות 55 יחידות.

אינטגרציה בשיטת ההצבה (5 יחידות) 🧮

לימוד טכניקת ההצבה (substitution)(substitution) לפישוט ופתרון אינטגרלים מורכבים בבגרות 55 יחידות.


⚠️ לפני שמתחילים, ודאו שאתם שולטים ב:

הסבר מפורט

בבגרות 55 יח"ל, אינטגרלים רבים של פונקציות מעריכיות או שורשים אינם ניתנים לפתרון ישיר בעזרת נוסחאות פשוטות. השיטה החזקה ביותר לפתרון אינטגרלים כאלו היא שיטת ההצבה (IntegrationbySubstitution)(Integration by Substitution).

מטרת השיטה היא להחליף חלק מורכב מהפונקציה במשתנה עזר חדש uu, כך שהאינטגרל החדש שנקבל יהיה פשוט ונוח לפתרון.

שלבי העבודה בשיטת ההצבה:



  1. בחירת ההצבה (uu): בוחרים ביטוי פנימי בפונקציה (לרוב כזה שהנגזרת שלו מופיעה גם היא בתוך האינטגרל) ומגדירים u=g(x)u = g(x).

  2. גזירה ודיפרנציאל (dudu): גוזרים את uu לפי xx ומחלצים את dxdx:


du=g(x)dx    dx=dug(x)du = g'(x) dx \implies dx = \frac{du}{g'(x)}

  1. הצבה באינטגרל: מציבים את uu ואת dxdx בתוך האינטגרל ומצמצמים את כל האיברים המכילים xx (חובה שכל האינטגרל יכיל רק את המשתנה uu).

  2. פתרון האינטגרל: מבצעים את האינטגרציה לפי uu.

  3. הצבה בחזרה: מציבים במקום uu את הביטוי המקורי g(x)g(x) כדי לקבל את התשובה הסופית במונחי xx.



דוגמה מפורטת:


חשבו את האינטגרל הבא:
2xex2dx\int 2x e^{x^2} dx

פתרון:
שלב 11: נבחר להציב u=x2u = x^2 (המעריך של הפונקציה המעריכית).
שלב 22: נגזור: dudx=2x    dx=du2x\frac{du}{dx} = 2x \implies dx = \frac{du}{2x}.
שלב 33: נציב באינטגרל:
2xeu(du2x)\int 2x e^u \left( \frac{du}{2x} \right)
נצמצם את 2x2x המשותף במונה ובמכנה ונקבל אינטגרל נקי לפי uu:
eudu\int e^u du
שלב 44: נפתור את האינטגרל הבסיסי:
eudu=eu+C\int e^u du = e^u + C
שלב 55: נציב בחזרה u=x2u = x^2:
F(x)=ex2+CF(x) = e^{x^2} + C
1

חשבו את האינטגרל הבא בשיטת ההצבה: xx2+1dx\int x \sqrt{x^2 + 1} dx (רמז: הציבו u=x2+1u = x^2 + 1).

2

הסבירו מדוע שיטת ההצבה היא למעשה הפעולה ההפוכה של חוק השרשרת בגזירה.

נתקעת בנושא? בואו נפתור את זה ביחד 💪

שלחו הודעה בוואטסאפ ונתחיל שיעור ניסיון – עם הקלטה, תרגול ומענה 24/7

שלחו הודעה בוואטסאפ